ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Шотландский математик –

изобретатель логарифмов.

В 1590-х годах пришел к идее

логарифмических вычислений

и составил первые таблицы

логарифмов, однако свой знаменитый

труд “Описание удивительных таблиц логарифмов” опубликовал лишь в 1614 году.

Ему принадлежит определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов, синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.

Из истории логарифмов

• Логарифмы появились 350 лет назад в связи с потребностями вычислительной практики.

• В те времена для решения задач астрономии и мореплавания приходилось производить весьма громоздкие вычисления.

• Известный астроном Иоганн Кеплер первым ввел в1624 году знак логарифма – log. Он применил логарифмы для нахождения орбиты Марса.

• Слово « логарифм» - греческого происхождения, что в переводе означает – отношение чисел

Определение

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Вычислить:

log 2 16; log 2 64; log 2 2;

log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; log 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма

Вычислите:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

При каких значениях х существует логарифм

Не существует ни при

каком х

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (bc) =

a log a b

= a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. log a (bc) = log a b + log a c

Пример:

log a

= log a b - log a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

log a

= log a b – log a c,

a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.

Пример:

3. Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания

log a b r = r log a b

Пример

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Формула перехода от одного основания

логарифма к другому, примеры.

Цели урока :

1. Отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов; применять их при упрощении выражений.
2. Развитие сознательного восприятия учебного материала, зрительной памяти, математической речи учащихся, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки, способствовать развитию творческой деятельности учащихся.
3. Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Оборудование:

1. Интерактивная доска (StarBoard Software)
2. Компьютеры
3. Презентация 1 «Логарифмы. Свойства логарифмов»
4. Презентация 2 «Логарифмы и музыка»
5. Технологическая карта урока

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний. (Подготовка к экзаменам)

Ход урока

I. Орг. момент

1. Мотивация

Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный предмет. Эпиграфом урока будут слова Аристотеля « Лучше в совершенстве выполнить небольшую часть дела, чем сделать плохо в десять раз более».

(Слайд 1. Интерактивная доска или презентация 1) . Как вы понимаете эти слова?

2. Постановка проблемы.

На слайде 2 вы видите Портрет Пифагора, ноты и логарифмы. Что их объединяет? (Слайд 2 на интерактивной доске или слайд 2-3 презентации 1).

3. Логарифмы в музыке

(Слайд 3 на интерактивной доске или слайд 4 презентации 1).

В своем стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал.

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть набор передовых логарифмов?

(Сообщение ученика – презентация прилагается)

4. Тема урока (Слайд 4 на интерактивной доске или слайд 5 презентации 1). Класс разбит на три группы у каждого ученика технологическая карта.

II. Повторение

1 группа	2 группа	3 группа
1. Повторение теории
Вставить пропущенные слова: Логарифмом числа b по………………………. а называется …………….. степени, в которую нужно……………. основание а, чтобы получить число b . возвести, основанию, показатель	В технологической карте урока – Задание 1 На компьютере собрать определение логарифма	В технологической карте урока – Задание 1 Записать определение логарифма на математическом языке.
2. Самопроверка (Слайд 5 на интерактивной доске или слайд 7 презентации 1)
3. Повторение свойств логарифма (Слайд 6-7 на интерактивной доске или слайд 8-9 презентации 1)
Задание 2. На компьютере стрелками соедините формулы	Задание 2. В технологической карте урока стрелками соедините формулы	Задание 2. В технологической карте урока закончите формулы
4. Взаимопроверка (Слайд 8 на интерактивной доске или слайд 10 презентации 1)
5. Применение свойств
а) Устно (Слайд 9-10 на интерактивной доске или слайд 11-12 презентации 1) Вычислить и поставить в соответствии ответы
б) Найди ошибки (Слайд 11 на интерактивной доске или слайд 13 презентации 1)
в) Работа в группах
Работа у доски. Вычислить	Выполнение теста в технологической карте Вычислить:	Выполнение теста на компьютере
6. Повторение свойств (Слайд 12 на интерактивной доске или слайд 14 презентации 1)
7. Применение свойств (Слайд 13 на интерактивной доске или слайд 15 презентации 1)
Вычислить:
8. Софизм (Слайд 14 на интерактивной доске или слайд 16 презентации 1)
(от греч. sophisma - уловка, выдумка, головоломка), рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. Обычно софизм обосновывает какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям
8. Логарифмический софизм 2>3 .(Слайд 15 на интерактивной доске или слайд 17 презентации 1)
Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование , тоже не вызывающее сомнений. Большему значению соответствует больший логарифм, значит, , т.е. . После сокращения на , имеем 2>3.

III. Домашнее задание

В папке для экзаменов

Тема: «Свойства логарифмов»

• 1-я группа- 1 вариант
• 2-я группа- 2 вариант
• 3-я группа- 3 вариант

IV. Итог урока

(Слайд 16 на интерактивной доске или слайд 18 презентации 1)

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей”.
Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за работу!

А. Дистервег

РАЗВИТИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ НИ ОДНОМУ ЧЕЛОВЕКУ НЕ МОГУТ БЫТЬ ДАНЫ ИЛИ СООБЩЕНЫ. ВСЯКИЙ, КТО ЖЕЛАЕТ К НИМ ПРИОБЩИТЬСЯ, ДОЛЖЕН ДОСТИГНУТЬ ЭТОГО СОБСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ, СОБСТВЕННЫМИ СИЛАМИ, СОБСТВЕННЫМ НАПРЯЖЕНИЕМ .

Определите тему урока, решив уравнения

• 2 х = ; 3 х = ; 5 х = 1/125; 2 х = 1/4; 2 х = 4; 3 х = 81; 7 х = 1/7; 3 х = 1/81

Логарифм и его свойства

Джон Непер, изобретатель логарифмов

В 1590 году пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, опубликовал труд «Описание удивительных таблиц логарифмов». В этом труде содержались определение логарифмов, объяснение их свойств. Изобрел логарифмическую линейку, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений.

Логарифмическая линейка

В настоящее время, с появлением компактных калькуляторов и компьютеров, необходимость в использовании таблиц

логарифмов и логарифмических линеек отпала.

• Логарифмом числа в 0 по основанию а 0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в.
• - логарифм с произвольным основанием.
• Например: а) log 3 81 = 4, так как 3 4 = 81; б) log 5 125 = 3, так как 5 3 = 125; в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5) -4 = 16;

Применение логарифма: Банковские расчёты, география, расчёты в производстве, биология, химия, физика, астрономия, психология, социология, музыка.

Логарифмическая спираль в природе

Раковина наутилуса

Расположение семян на подсолнечнике

Свойства логарифмов

• log a 1 = 0.
• log a a = 1.
• log a xy = log a x + log a y.
• log a х ∕ у = log a x - log a y.
• log a x p = p log a x
• log a р x = 1 ∕ р log a x

• Если основание логарифма равно 10, то логарифм называется десятичным:

• Если основание логарифма е 2,7, то логарифм называется натуральным:

• 1. Найдите логарифм числа 64 по основанию 4.

Решение : log 4 64 = 3, так как 4 3 = 64.

Ответ: 3

• 2. Найдите число x , если log 5 x = 2

Решение: log 5 x = 2, x = 5 2 (по определению логарифма), x = 25.

Ответ : 25.

• 3. Вычислить: log 3 1/ 81 = x ,

Решение: log 3 1/ 81 = x , 3 x = 1/ 81, x = – 4.

Ответ: – 4.

• 1. Вычислить: log 6 12 + log 6 3

Решение:

log 6 12 +log 6 3 = log 6 (12*3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2

Ответ : 2.

• 2. Вычислить: log 5 250 – log 5 2.

Решение:

log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3

Ответ : 3.

• 3. Вычислить:

Решение :

Ответ: 8.

Слайд 2

Цели урока:

Образовательные: Повторить определение логарифма; познакомиться со свойствами логарифмов; научиться применять свойства логарифмов при решении упражнений.

Слайд 3

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию а,где а >0 и а≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Основное логарифмическое тождество alogab=b (где a>0, a≠1, b>0)

Слайд 4

История возникновения логарифмов

Слово логарифм происходит из двух греческих слов и оно переводится, как отношение чисел. В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили.

Слайд 5

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632). В таблицы Непера вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 900 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамечеными. Непер Джон (1550-1617)

Слайд 6

Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлила ему жизнь. П. С. Лаплас Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Слайд 7

Свойства степени

ах · ау = ах +у = ax –y (x)y = ax·y

Слайд 8

Вычислите: