Задача

Решение .
Площадь сферы найдем по формуле:

Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник - равносторонний (сумма углов треугольника - 180 градусов, значит остальные углы (180-60) / 2 = 60 , то есть все углы равны).

Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l . То есть

Таким образом площадь сферы

S = 4π(√3/3 l) 2
S = 4/3πl 2

Ответ : площадь сферы равна 4/3πl 2 .

Задача

Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость?

Решение .
Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы.
Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус:
L = 2πR
Откуда
R = L / 2π
R = 46 / 2π
R = 23 / π

Откуда площадь основания равна
S = πR 2
S = π (23/π) 2
S = 529 / π

Площадь сферы найдем по формуле:
S = 4πr 2

Соответственно площадь полусферы
S = 4πr 2 / 2
S = 2π (23/π) 2
S = 1058 / π

Общая площадь поверхности фигуры равна:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π

Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров)
1587 / π * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г

Задача

Решение. Рiшення .

	Для пояснения решения прокомментируем каждую из приведенных формул Воспользуемся формулой нахождения поверхности шара и запишем ее для первого шара, предположив, что его радиус равен R 1 Площадь поверхности второго шара запишем с помощью точно такой же формулы, предположив, что его радиус равен R 2 Найдем соотношение их площадей, разделив первое выражение на второе. Сократим полученную дробь. Нетрудно заметить, что соотношение площадей двух шаров равно соотношению квадратов их радиусов. По условию задачи это соотношение равно m/n Из полученного равенства найдем соотношение радиусов шаров путем извлечения квадратного корня. Полученное равенство запомним Воспользуемся формулой нахождения объема шара и запишем ее для первого шара с радиусом R 1 Объем второго шара запишем с помощью той же самой формулы, подставив в нее радиус R 2	Для пояснення рішення прокоментуємо кожну з приведених формул Скористаємося формулою знаходження поверхні кулі і запишемо її для першої кулі, передбачивши, що його радіус рівний R 1 Площу поверхні другої кулі запишемо за допомогою точний такої ж формули, передбачивши, що його радіус рівний R 2 Знайдемо співвідношення їх площ, розділивши перше вираження на друге. Скоротимо отриманий дріб. Неважко відмітити, що співвідношення площ двох куль дорівнює співвідношенню квадратів їх радіусів. По умові завдання це співвідношення рівне m/n З отриманої рівності знайдемо співвідношення радіусів куль шляхом витягання квадратного кореня. Отриману рівність запам"ятаємо Скористаємося формулою знаходження об"єму кулі і запишемо її для першої кулі з радіусом R 1 Об"єм другої кулі запишемо за допомогою тієї ж самої формули, підставивши в неї радіус R 2
	8. Разделим объемы первого и второго шара друг на друга 9. Сократим получившуюся дробь. Заметим, что соотношение объема двух шаров равно соотношению кубов их радиусов. Учтем выражение, полученное нами ранее в формуле 4 и подставим его. Поскольку корень квадратный - это число в степени 1/2, преобразуем выражение 10. Раскроем скобки и запишем полученное соотношение в виде пропорции. Ответ получен .	8. Розділимо об"єми першої і другої кулі один на одного 9. Скоротимо дріб, що вийшов. Відмітимо, що співвідношення об"єму двох куль дорівнює співвідношенню кубів їх радіусів. Врахуємо вираження, отримане нами раніше у формулі 4 і підставимо його. Оскільки корінь квадратний - це число в мірі 1/2, перетворимо вираження 10. Розкриємо дужки і запишемо отримане співвідношення у вигляді пропорції. Відповідь отримана .

Площадь искривленной поверхности, которую нельзя развернуть на плоскость, вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Потом находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближенно площадь поверхности. Так поступают на практике: площадь поверхности купола получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 17.5). Еще

лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена - примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.

Вычисляя плоскость сферы, описывают вокруг нее близкую к ней многогранную поверхность. Ее грани будут приближенно представлять куски сферы, а ее площадь дает приближенно площадь самой сферы. Ее дальнейшее вычисление основано на следующей лемме.

Лемма. Объем многогранника Р, описанного вокруг сферы радиуса R, и площадь его поверхности связаны соотношением

Замечание: Аналогичным соотношением связаны площадь многоугольника Q, описанного вокруг круга радиуса и его периметр (рис. 17.6):

Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник Р. Пусть у него граней Разобьем Р на пирамиды с общей вершиной в центре О и с гранями в основаниях (рис. 17.7).

Каждая такая грань лежит в касательной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Значит, этот радиус есть высота пирамиды Поэтому ее объем будет:

где - площадь грани Сумма этих площадей дает площадь поверхности многогранника Р, а сумма объемов пирамид - его объем Поэтому

Теорема (о площади сферы). Площадь сферы радиуса R выражается формулой:

Пусть дана сфера радиуса R. Возьмем на ней П точек, не лежащих в одной полусфере, и проведем через них касательные плоскости к сфере. Эти плоскости ограничат многогранник описанный вокруг сферы. Пусть - объем многогранника - площадь его поверхности, V - объем шара, ограниченного рассматриваемой сферой, и S - ее площадь.

Очень часто людям требуется узнать точный размер какого-то объекта. На производстве, строительстве, моделировании и многом-многом другом точность является одним из главных правил. В природе очень распространены идеальные фигуры. Одним из таких тел является сфера. В стереометрии понятию «шар» даётся следующее определение: сфера – геометрическое место точек, равноудалённых от одной единственной – центра сферы. Расстояние, на котором находятся все эти точки, является постоянным и называется радиусом. Радиус является основным параметром и очень важно уметь вычислять его значение. Для проведения этой операции существует множество способов, как практических, так и теоретических. В большинстве из них фигурирует понятие числа «Пи», в котором обязательно нужно разобраться. Число «Пи» является постоянным иррациональным трансцендентным числом. Это значит, что его десятичная запись является бесконечной. Сама константа определяется отношением длины окружности к её радиусу. С древности учёные вычисляли значение этого числа, на данный момент известно уже более миллиарда знаков после запятой. На практике и, в частности, в данной статье понадобится не слишком точное значение данной константы. И хоть первые десять знаков выглядят как 3.3, чтобы найти радиус сферы будет использоваться округлённое значение 3,4.

Первый способ годится, если имеется реальное сферическое тело, например, мяч для игры в настольный теннис. Как вычислить его радиус? Для этого достаточно использовать штангенциркуль, а именно поместить в раствор циркуля шарик, таким образом будет получено значение его диаметра. Оно равно сорока миллиметрам, если берётся стандартная модель. Теперь остаётся лишь поделить диаметр пополам и получится точное значение радиуса, а именно 20 мм. Для подобных случаев формула будет иметь вид R = D/2, (где R - радиус, а D – диаметр сферы) . Однако, часто приходится работать с абстрактными телами и вычислить их диаметр на практике невозможно. В таком случае, для нахождения радиуса необходимо знать значение какой-либо другой величины, например объёма или площади поверхности. Важно рассмотреть каждый из таких примеров отдельно, так как решение будет отличаться существенно. Будет предоставлен лёгкий способ найти радиус сферы, формула прилагается сама собой.

Пусть дана сфера, площадь поверхности (S) которой равна 10 сантиметров квадратных. Найти её радиус. Для начала следует вспомнить общую формулу для вычисления площади поверхности шара, а именно: S = 4*Pi*(R^2) . Теперь нужно пошагово избавить значение Rот посторонних множителей и степени: R^2 = S / (4*Pi) , отсюда Rбудет равно корню квадратному из S / 4*Pi. Теперь имеется всё необходимое для решения исходной задачи, следует подставить известную Sв формулу: R = 10 / (4*Pi) . Далее потребуется помощь калькулятора: Pi*4 = 4 * 3,4 = 2,6. Далее выполняется операция деления: 10 / 2,6 = 0,3. Корень квадратной из данной величины равен 0.2, округлив данное значение до десятых, получится 0,9. Также не стоит забывать и о соблюдениях размерности, площадь была дана в сантиметрах квадратных, значит ответ будет в обычных сантиметрах. Ответ: сфера имеет радиус 0,9 см. Для всех подобных задач общая формула будет выглядеть так: R = √(S/(4*Pi)) , где R – радиус, а S – площадь поверхности.

Следующий пример. Дан шар объёмом 48 литров. Вычислить его радиус. Для решения данной задачи следует прибегнуть к формуле объёма шара. V = 4/3 * Pi * R^3. Как и в прошлом примере, следует выразить радиус в чистом виде: R^3 = (V * 3/4) / Pi. После извлечения корня кубического получится R = sqrt((V * 3/4) / Pi) . Обозначение “sqrt” означает кубический корень. Теперь стоит подставить объём в формулу и произвести вычисления: R = sqrt((48 * 3/4) / Pi) = sqrt(36 / Pi) = sqrt(1,8) = 2,4. Важное внимание следует уделить размерности в этом случае, ведь объём дан в литрах, а ответ требуется дать в величинах, измеряющих длину.

Стоит отметить, что 1 литр равен одному дециметру кубическому, следовательно ответ получен в дециметрах. Ответ: 2,5 дециметров или 2,5 сантиметра. Для всех подобных задач радиус можно вычислить с помощью формулы R = sqrt((V * 3/4) / Pi) , где R – радиус, sqrt – корень кубический, а V – объём шара. На практике, не имея возможность вычислить диаметр, но имея возможность найти объём шара, радиус сферы можно рассчитать с помощью воды и мензурки. Для этого нужно налить 100 мл воды в мензурку, полностью опустить в неё шар, зафиксировать новое значение. Из него вычесть 100 мл - это и будет объём шара. Далее производить действия по аналогии с последней задачей.

Определение.

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара :

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m < R

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 - m 2 ,

Где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2π Rh